Introduction

Dans le logiciel R, on peut simuler très simplement à peu près toutes les lois classiques. Dans ce TP, on se propose, pour chaque loi usuelle, de simuler des échantillons, et de calculer la moyenne et la variance de ces échantillons, ainsi que faire des graphiques représentant ces lois. Il y a quatre commandes à connaître pour chaque loi :

rmaloi : permet de simuler selon maloi
dmaloi : permet de calculer la densité de maloi
pmaloi : permet de calculer la fonction de répartition de maloi
qmaloi : permet de calculer le quantile de maloi

Echantillonner:

n <- 30
ech <- rnorm(n,mean=0, sd=2) # simulation d'un échantillon ~ N(0, 2^2)
head(ech,n = 20)

##  [1] -1.7652764  2.4908374 -4.2411973  1.8433562 -1.3232223 -0.7718311
##  [7]  0.8414317  3.5303070 -3.7146116  1.2641200  3.1469737 -2.5022213
## [13] -0.7074250  3.1093626  1.9902151  2.3481925 -4.0680272 -1.5130927
## [19]  0.1880669 -1.2496701

Densité:

# Densité:
hist(ech, freq=F, xlim=c(-6,6))
curve(dnorm(x, mean = 0,sd = 2), 
      from=-6, to=6, ylab="densité",add=T,col="red")

Fonction de repartition:

plot(ecdf(ech), xlim=c(-6,6))  # Fonction de repartition empirique
curve(pnorm(x,mean = 0,sd = 2),
      from=-6,to=6,
      ylab="Fonction de répartition",
      add=T,col="red")

Quantiles empiriques vs theoriques.

quantile.normale <- qnorm(p=c(0.05,0.1,0.25,0.5,0.75,0.9,0.95),
                          mean=0, sd=2)
quantile.echantillon <- quantile(x=ech,
                                 probs=c(0.05,0.1,0.25,0.5,0.75,0.9,0.95))
quantiles = rbind(quantile.echantillon,quantile.normale)

	5%	10%	25%	50%	75%	90%	95%
quantile.echantillon	-3.91	-3.17	-1.32	-0.45	1.70	3.11	3.36
quantile.normale	-3.29	-2.56	-1.35	0.00	1.35	2.56	3.29

Exercice 1: Distribution des valeurs

Pour simuler \(n\) valeurs aléatoirement suivant la loi normale de moyenne \(m\) et d’écart-type \(s\) on utilise sous R la commande

rnorm(20,0,1) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(0,1)
rnorm(20,1,1) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(1,1)
rnorm(20,2,1) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(2,1)
rnorm(20,0,2) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(0,1)
rnorm(20,0,4) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(0,4)

Pour chacun des échantillons ci-dessus remplir le tableau suivant :

\(n=20\)	\(\mu=0\), \(\sigma=1\)	\(\mu=1\), \(\sigma=1\)	\(\mu=2\), \(\sigma=1\)	\(\mu=0\), \(\sigma=2\)	\(\mu=0\), \(\sigma=4\)
% de valeurs < -2
% de valeurs < 0
% de valeurs = 0
% de valeurs >2

Pour toute la suite du TP, voici un script R qui vous guidera pour répondre aux questions posées.

# Echantillons de taille n=2000 individus avec differents parametres
n <- 2000
nd1 <- rnorm(n,0,1)
nd2 <- rnorm(n,1,1)
nd3 <- rnorm(n,2,1)
nd4 <- rnorm(n,0,2)
nd5 <- rnorm(n,0,4)


nd_en_col <- cbind(nd1, nd2, nd3, nd4, nd5) # les echantillons sont mis en ensemble, colonne par colonne
# pour chaque colonne on compte le nombre de valeurs qui satisfont une condition + pourcentage
colSums(nd_en_col< -2) / n              
colSums(nd_en_col< 0) / n 
colSums(nd_en_col == 0) / n 
colSums(nd_en_col > 2) / n

Question 1 : avec les mêmes valeurs des moyennes et des écart-types, on simule maintenant des échantillons de taille \(n=2000\) individus.

Pour chacun de ces échantillons remplir le tableau suivant en utilisant les commandes R dans le script :

\(n=20\)	\(\mu=0\), \(\sigma=1\)	\(\mu=1\), \(\sigma=1\)	\(\mu=2\), \(\sigma=1\)	\(\mu=0\), \(\sigma=2\)	\(\mu=0\), \(\sigma=4\)
% de valeurs < -2
% de valeurs < 0
% de valeurs = 0
% de valeurs >2

Question 2 : On considère uniquement le premier échantillon nd1. Que trace la fonction plot dans le script ? (axe des \(x=\) ? et axe des \(y=\) ?)

# Tracer les valeurs
plot(nd1, pch=19, cex=0.5)

Pour dessiner la répartition des valeurs on trace un histogramme.

Question 3 : Quelle est la différence entre les trois commandes ci-dessous?

hist(nd1)

hist(nd1,freq=TRUE,breaks=40)

hist(nd1,freq=TRUE,breaks=50)